The Infinite Hotel Paradox
Video Drive đang bị chặn hoặc tải quá lâu.
Gợi ý: nếu Drive báo “can’t scan”, hãy mở link Drive rồi bấm Play/Download 1 lần.
English • (Click/nhấn giữ để tra từ)
In the 1920's, the German mathematician David Hilbert devised a famous thought experiment to show us just how hard it is to wrap our minds around the concept of infinity.
Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How?
Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms.
But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key.
Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on.
Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" - - filling up only the infinite evennumbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.
Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job.
Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number.
So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room
128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc.
Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique roomassignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus.
Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on.
Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number.
The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What selfrespecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary?
But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the everdiligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How?
Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms.
But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key.
Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on.
Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" - - filling up only the infinite evennumbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.
Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job.
Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number.
So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room
128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc.
Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique roomassignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus.
Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on.
Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number.
The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What selfrespecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary?
But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the everdiligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
Tiếng Việt • (Click/nhấn giữ để dịch)
Thập niên 20 của thế kỷ XX, một nhà toán học người Đức David Hilbert đã nghĩ ra một thí nghiệm nổi tiếng cho thấy khái niệm vô cực khó hiểu đến mức nào.
Hãy tưởng tượng một khách sạn với số phòng vô hạn và một quản lý ca đêm cần mẫn. Một đêm nọ, khi tất cả các phòng ở Khách sạn Vô hạn đều đã đầy, một người đàn ông bước vào, hỏi thuê một phòng. Không muốn làm khách thất vọng, người quản lý đã quyết định xếp phòng cho ông ấy. Nhưng làm thế nào?
Đơn giản thôi. Ông ta yêu cầu khách ở phòng số 1 chuyển sang phòng số 2, khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 3, v.v Mỗi
khách chuyển từ phòng số n sang phòng số n+1. Bởi khách sạn có số phòng vô hạn, tất cả các khách trong khách sạn đều có phòng. Nhờ thế, ông khách mới có được một phòng. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho bất kỳ số khách có hạn nào. Giả sử một xe buýt chở 40 người đến thuê phòng, mỗi khách trong khách sạn sẽ phải chuyển từ phòng số n sang phòng số n+40, và nhờ vậy, 40 phòng đầu tiên sẽ còn trống.
Nhưng giả sử, một xe buýt lớn vô hạn chở một số khách vô hạn (đếm được) đến khách sạn này để thuê phòng.
Ban đầu, chiếc xe buýt với số khách vô hạn làm người quản lý bối rối, nhưng ông nhận ra có một cách để xếp phòng cho họ. Ông yêu cầu khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2. Rồi yêu cầu khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 4, khách ở phòng số 3 chuyển sang phòng số 6, v.v....
Mỗi khách trong khách sạn chuyển từ phòng số n sang phòng số 2n, và vì thế, chỉ các phòng chẵn là có khách ở. Bằng cách này, người quản lý đã dọn trống các phòng lẻ, và khách mới có thể thuê những phòng lẻ đó. Mọi người đều vui vẻ, và lợi nhuận của khách sạn tăng cao hơn bao giờ hết.
Thực ra thì, lợi nhuận của khách sạn không thay đổi chút nào, bởi đêm nào, khách sạn cũng thu về số tiền vô hạn. Mọi người bàn tán về khách sạn phi thường này. Họ đổ xô đến đây thuê phòng. Một đêm, điều không tưởng xảy đến. Người quản lý nhìn ra bên ngoài và thấy một hàng xe buýt lớn vô hạn, dài vô hạn. Mỗi xe có một số khách vô hạn. Làm gì bây giờ? Nếu không xếp được phòng cho tất cả bọn họ, khách sạn sẽ thất thoát một số tiền lớn vô hạn, chắc chắn, ông ta sẽ mất việc.
May mắn thay, ông nhớ ra vào khoảng năm 300 TCN, Euclid đã chứng minh rằng số số nguyên tố là vô tận. Để hoàn thành nhiệm vụ tưởng như không thể này tìm số giường vô hạn cho số khách vô hạn trên số xe buýt vô hạn này, người quản lý đưa cho mỗi khách trong khách sạn số nguyên tố đầu tiên: 2 với số mũ là số phòng mà họ đang ở.
Như vậy, người khách ở căn phòng số 7 sẽ chuyển đến phòng số 2^7, nghĩa là phòng số
128. Người quản lý đưa tất cả khách trên chiếc xe buýt lớn vô hạn đầu tiên số nguyên tố tiếp theo: 3 với số mũ là số ghế của họ trên xe buýt. Như vậy, khách ngồi ghế số 7 trên chiếc xe đầu tiên nhận phòng số 3^7, nghĩa là phòng số 2.187. Người quản lý tiếp tục xếp phòng. Khách trên xe thứ hai được đưa cho số nguyên tố tiếp theo: 5 với số mũ là số ghế của họ trên xe. Tương tự là số 7 với khách trên xe thứ ba. Tiếp tục với số 11, số 13, số 17, v.v....
Bởi vì mỗi số này chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không có khách nào phải thuê trùng phòng cả. Tất cả các khách xuống xe buýt, vào khách sạn, và tìm số phòng người quản lý đã xếp cho mình. Bằng cách này, ông có thể xếp phòng cho từng hành khách trên từng xe.
Tuy nhiên, khách sạn sẽ có một số phòng trống, ví dụ như phòng số 6, bởi 6 không được tạo ra bởi số nguyên tố cùng số mũ nào cả. May mắn thay, sếp của ông ta không giỏi Toán, và ông không bị đuổi việc. Phương pháp của người quản lý chỉ thành công khi mà, tuy rằng Khách sạn Vô hạn là cơn ác mộng về lô-gíc, lại chỉ ở mức độ đơn giản nhất của khái niệm vô cực, chủ yếu là số số tự nhiên vô cực đếm được: 1, 2, 3, 4, v.v....
George Cantor gọi đây là mức độ 0- apleph của vô cực. Ta dùng số tự nhiên để chỉ số phòng và số ghế trên xe buýt. Nếu phải đối mặt với những bậc cao hơn của vô cực, ví dụ như tập số thực, cách sắp xếp như trên sẽ không còn khả thi, bởi không có cách nào có thể bao gồm tất cả các số theo hệ thống. Khách sạn Vô hạn.
Số thực có số phòng âm trong tầng hầm, và số phòng là phân số, nghĩa là khách phòng số 1/2 luôn nghi rằng phòng của anh ta bé hơn phòng số 1 bên cạnh. Nếu ta lấy căn của số phòng, ví dụ như căn 2 và phòng số pi, nơi khách thuê phòng mong chờ món tráng miệng miễn phí. Quản lý ca đêm có lòng tự trọng nào lại muốn làm ở một nơi như thế, dù lương của anh ta là vô hạn?
Tại Khách sạn Vô hạn của Hilbert, không bao giờ có phòng trống và luôn còn phòng cho khách mới, những tình huống mà người quản lý cần mẫn vì quá hiếu khách phải giải quyết nhắc nhở chúng ta rằng thật khó khăn khi dùng trí óc có hạn của mình để hiểu thấu một khái niệm rộng lớn như vô cực. Bạn có thể giúp chúng tôi giải quyết bài toán này, sau một giấc ngủ ngon. Nhưng thành thực mà nói, chúng tôi có thể sẽ cần bạn thức dậy và chuyển phòng vào lúc 2 giờ sáng.
Hãy tưởng tượng một khách sạn với số phòng vô hạn và một quản lý ca đêm cần mẫn. Một đêm nọ, khi tất cả các phòng ở Khách sạn Vô hạn đều đã đầy, một người đàn ông bước vào, hỏi thuê một phòng. Không muốn làm khách thất vọng, người quản lý đã quyết định xếp phòng cho ông ấy. Nhưng làm thế nào?
Đơn giản thôi. Ông ta yêu cầu khách ở phòng số 1 chuyển sang phòng số 2, khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 3, v.v Mỗi
khách chuyển từ phòng số n sang phòng số n+1. Bởi khách sạn có số phòng vô hạn, tất cả các khách trong khách sạn đều có phòng. Nhờ thế, ông khách mới có được một phòng. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho bất kỳ số khách có hạn nào. Giả sử một xe buýt chở 40 người đến thuê phòng, mỗi khách trong khách sạn sẽ phải chuyển từ phòng số n sang phòng số n+40, và nhờ vậy, 40 phòng đầu tiên sẽ còn trống.
Nhưng giả sử, một xe buýt lớn vô hạn chở một số khách vô hạn (đếm được) đến khách sạn này để thuê phòng.
Ban đầu, chiếc xe buýt với số khách vô hạn làm người quản lý bối rối, nhưng ông nhận ra có một cách để xếp phòng cho họ. Ông yêu cầu khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2. Rồi yêu cầu khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 4, khách ở phòng số 3 chuyển sang phòng số 6, v.v....
Mỗi khách trong khách sạn chuyển từ phòng số n sang phòng số 2n, và vì thế, chỉ các phòng chẵn là có khách ở. Bằng cách này, người quản lý đã dọn trống các phòng lẻ, và khách mới có thể thuê những phòng lẻ đó. Mọi người đều vui vẻ, và lợi nhuận của khách sạn tăng cao hơn bao giờ hết.
Thực ra thì, lợi nhuận của khách sạn không thay đổi chút nào, bởi đêm nào, khách sạn cũng thu về số tiền vô hạn. Mọi người bàn tán về khách sạn phi thường này. Họ đổ xô đến đây thuê phòng. Một đêm, điều không tưởng xảy đến. Người quản lý nhìn ra bên ngoài và thấy một hàng xe buýt lớn vô hạn, dài vô hạn. Mỗi xe có một số khách vô hạn. Làm gì bây giờ? Nếu không xếp được phòng cho tất cả bọn họ, khách sạn sẽ thất thoát một số tiền lớn vô hạn, chắc chắn, ông ta sẽ mất việc.
May mắn thay, ông nhớ ra vào khoảng năm 300 TCN, Euclid đã chứng minh rằng số số nguyên tố là vô tận. Để hoàn thành nhiệm vụ tưởng như không thể này tìm số giường vô hạn cho số khách vô hạn trên số xe buýt vô hạn này, người quản lý đưa cho mỗi khách trong khách sạn số nguyên tố đầu tiên: 2 với số mũ là số phòng mà họ đang ở.
Như vậy, người khách ở căn phòng số 7 sẽ chuyển đến phòng số 2^7, nghĩa là phòng số
128. Người quản lý đưa tất cả khách trên chiếc xe buýt lớn vô hạn đầu tiên số nguyên tố tiếp theo: 3 với số mũ là số ghế của họ trên xe buýt. Như vậy, khách ngồi ghế số 7 trên chiếc xe đầu tiên nhận phòng số 3^7, nghĩa là phòng số 2.187. Người quản lý tiếp tục xếp phòng. Khách trên xe thứ hai được đưa cho số nguyên tố tiếp theo: 5 với số mũ là số ghế của họ trên xe. Tương tự là số 7 với khách trên xe thứ ba. Tiếp tục với số 11, số 13, số 17, v.v....
Bởi vì mỗi số này chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không có khách nào phải thuê trùng phòng cả. Tất cả các khách xuống xe buýt, vào khách sạn, và tìm số phòng người quản lý đã xếp cho mình. Bằng cách này, ông có thể xếp phòng cho từng hành khách trên từng xe.
Tuy nhiên, khách sạn sẽ có một số phòng trống, ví dụ như phòng số 6, bởi 6 không được tạo ra bởi số nguyên tố cùng số mũ nào cả. May mắn thay, sếp của ông ta không giỏi Toán, và ông không bị đuổi việc. Phương pháp của người quản lý chỉ thành công khi mà, tuy rằng Khách sạn Vô hạn là cơn ác mộng về lô-gíc, lại chỉ ở mức độ đơn giản nhất của khái niệm vô cực, chủ yếu là số số tự nhiên vô cực đếm được: 1, 2, 3, 4, v.v....
George Cantor gọi đây là mức độ 0- apleph của vô cực. Ta dùng số tự nhiên để chỉ số phòng và số ghế trên xe buýt. Nếu phải đối mặt với những bậc cao hơn của vô cực, ví dụ như tập số thực, cách sắp xếp như trên sẽ không còn khả thi, bởi không có cách nào có thể bao gồm tất cả các số theo hệ thống. Khách sạn Vô hạn.
Số thực có số phòng âm trong tầng hầm, và số phòng là phân số, nghĩa là khách phòng số 1/2 luôn nghi rằng phòng của anh ta bé hơn phòng số 1 bên cạnh. Nếu ta lấy căn của số phòng, ví dụ như căn 2 và phòng số pi, nơi khách thuê phòng mong chờ món tráng miệng miễn phí. Quản lý ca đêm có lòng tự trọng nào lại muốn làm ở một nơi như thế, dù lương của anh ta là vô hạn?
Tại Khách sạn Vô hạn của Hilbert, không bao giờ có phòng trống và luôn còn phòng cho khách mới, những tình huống mà người quản lý cần mẫn vì quá hiếu khách phải giải quyết nhắc nhở chúng ta rằng thật khó khăn khi dùng trí óc có hạn của mình để hiểu thấu một khái niệm rộng lớn như vô cực. Bạn có thể giúp chúng tôi giải quyết bài toán này, sau một giấc ngủ ngon. Nhưng thành thực mà nói, chúng tôi có thể sẽ cần bạn thức dậy và chuyển phòng vào lúc 2 giờ sáng.
English • (Click/nhấn giữ để tra từ)
In the 1920's, the German mathematician David Hilbert devised a famous thought experiment to show us just how hard it is to wrap our minds around the concept of infinity.
Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How?
Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms.
But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key.
Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on.
Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" - - filling up only the infinite evennumbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.
Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job.
Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number.
So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room
128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc.
Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique roomassignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus.
Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on.
Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number.
The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What selfrespecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary?
But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the everdiligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
Imagine a hotel with an infinite number of rooms and a very hardworking night manager. One night, the Infinite Hotel is completely full, totally booked up with an infinite number of guests. A man walks into the hotel and asks for a room. Rather than turn him down, the night manager decides to make room for him. How?
Easy, he asks the guest in room number 1 to move to room 2, the guest in room 2 to move to room 3, and so on. Every guest moves from room number "n" to room number "n+1". Since there are an infinite number of rooms, there is a new room for each existing guest. This leaves room 1 open for the new customer. The process can be repeated for any finite number of new guests. If, say, a tour bus unloads 40 new people looking for rooms, then every existing guest just moves from room number "n" to room number "n+40", thus, opening up the first 40 rooms.
But now an infinitely large bus with a countably infinite number of passengers pulls up to rent rooms. countably infinite is the key.
Now, the infinite bus of infinite passengers perplexes the night manager at first, but he realizes there's a way to place each new person. He asks the guest in room 1 to move to room 2. He then asks the guest in room 2 to move to room 4, the guest in room 3 to move to room 6, and so on.
Each current guest moves from room number "n" to room number "2n" - - filling up only the infinite evennumbered rooms. By doing this, he has now emptied all of the infinitely many odd-numbered rooms, which are then taken by the people filing off the infinite bus. Everyone's happy and the hotel's business is booming more than ever.
Well, actually, it is booming exactly the same amount as ever, banking an infinite number of dollars a night. Word spreads about this incredible hotel. People pour in from far and wide. One night, the unthinkable happens. The night manager looks outside and sees an infinite line of infinitely large buses, each with a countably infinite number of passengers. What can he do? If he cannot find rooms for them, the hotel will lose out on an infinite amount of money, and he will surely lose his job.
Luckily, he remembers that around the year 300 B.C.E., Euclid proved that there is an infinite quantity of prime numbers. So, to accomplish this seemingly impossible task of finding infinite beds for infinite buses of infinite weary travelers, the night manager assigns every current guest to the first prime number, 2, raised to the power of their current room number.
So, the current occupant of room number 7 goes to room number 2^7, which is room
128. The night manager then takes the people on the first of the infinite buses and assigns them to the room number of the next prime, 3, raised to the power of their seat number on the bus. So, the person in seat number 7 on the first bus goes to room number 3^7 or room number 2,187. This continues for all of the first bus. The passengers on the second bus are assigned powers of the next prime, 5. The following bus, powers of 7. Each bus follows: powers of 11, powers of 13, powers of 17, etc.
Since each of these numbers only has 1 and the natural number powers of their prime number base as factors, there are no overlapping room numbers. All the buses' passengers fan out into rooms using unique roomassignment schemes based on unique prime numbers. In this way, the night manager can accommodate every passenger on every bus.
Although, there will be many rooms that go unfilled, like room 6, since 6 is not a power of any prime number. Luckily, his bosses weren't very good in math, so his job is safe. The night manager's strategies are only possible because while the Infinite Hotel is certainly a logistical nightmare, it only deals with the lowest level of infinity, mainly, the countable infinity of the natural numbers, 1, 2, 3, 4, and so on.
Georg Cantor called this level of infinity aleph-zero. We use natural numbers for the room numbers as well as the seat numbers on the buses. If we were dealing with higher orders of infinity, such as that of the real numbers, these structured strategies would no longer be possible as we have no way to systematically include every number.
The Real Number Infinite Hotel has negative number rooms in the basement, fractional rooms, so the guy in room 1/2 always suspects he has less room than the guy in room 1. Square root rooms, like room radical 2, and room pi, where the guests expect free dessert. What selfrespecting night manager would ever want to work there even for an infinite salary?
But over at Hilbert's Infinite Hotel, where there's never any vacancy and always room for more, the scenarios faced by the everdiligent and maybe too hospitable night manager serve to remind us of just how hard it is for our relatively finite minds to grasp a concept as large as infinity. Maybe you can help tackle these problems after a good night's sleep. But honestly, we might need you to change rooms at 2 a.m.
Tiếng Việt • (Click/nhấn giữ để dịch)
Thập niên 20 của thế kỷ XX, một nhà toán học người Đức David Hilbert đã nghĩ ra một thí nghiệm nổi tiếng cho thấy khái niệm vô cực khó hiểu đến mức nào.
Hãy tưởng tượng một khách sạn với số phòng vô hạn và một quản lý ca đêm cần mẫn. Một đêm nọ, khi tất cả các phòng ở Khách sạn Vô hạn đều đã đầy, một người đàn ông bước vào, hỏi thuê một phòng. Không muốn làm khách thất vọng, người quản lý đã quyết định xếp phòng cho ông ấy. Nhưng làm thế nào?
Đơn giản thôi. Ông ta yêu cầu khách ở phòng số 1 chuyển sang phòng số 2, khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 3, v.v Mỗi
khách chuyển từ phòng số n sang phòng số n+1. Bởi khách sạn có số phòng vô hạn, tất cả các khách trong khách sạn đều có phòng. Nhờ thế, ông khách mới có được một phòng. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho bất kỳ số khách có hạn nào. Giả sử một xe buýt chở 40 người đến thuê phòng, mỗi khách trong khách sạn sẽ phải chuyển từ phòng số n sang phòng số n+40, và nhờ vậy, 40 phòng đầu tiên sẽ còn trống.
Nhưng giả sử, một xe buýt lớn vô hạn chở một số khách vô hạn (đếm được) đến khách sạn này để thuê phòng.
Ban đầu, chiếc xe buýt với số khách vô hạn làm người quản lý bối rối, nhưng ông nhận ra có một cách để xếp phòng cho họ. Ông yêu cầu khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2. Rồi yêu cầu khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 4, khách ở phòng số 3 chuyển sang phòng số 6, v.v....
Mỗi khách trong khách sạn chuyển từ phòng số n sang phòng số 2n, và vì thế, chỉ các phòng chẵn là có khách ở. Bằng cách này, người quản lý đã dọn trống các phòng lẻ, và khách mới có thể thuê những phòng lẻ đó. Mọi người đều vui vẻ, và lợi nhuận của khách sạn tăng cao hơn bao giờ hết.
Thực ra thì, lợi nhuận của khách sạn không thay đổi chút nào, bởi đêm nào, khách sạn cũng thu về số tiền vô hạn. Mọi người bàn tán về khách sạn phi thường này. Họ đổ xô đến đây thuê phòng. Một đêm, điều không tưởng xảy đến. Người quản lý nhìn ra bên ngoài và thấy một hàng xe buýt lớn vô hạn, dài vô hạn. Mỗi xe có một số khách vô hạn. Làm gì bây giờ? Nếu không xếp được phòng cho tất cả bọn họ, khách sạn sẽ thất thoát một số tiền lớn vô hạn, chắc chắn, ông ta sẽ mất việc.
May mắn thay, ông nhớ ra vào khoảng năm 300 TCN, Euclid đã chứng minh rằng số số nguyên tố là vô tận. Để hoàn thành nhiệm vụ tưởng như không thể này tìm số giường vô hạn cho số khách vô hạn trên số xe buýt vô hạn này, người quản lý đưa cho mỗi khách trong khách sạn số nguyên tố đầu tiên: 2 với số mũ là số phòng mà họ đang ở.
Như vậy, người khách ở căn phòng số 7 sẽ chuyển đến phòng số 2^7, nghĩa là phòng số
128. Người quản lý đưa tất cả khách trên chiếc xe buýt lớn vô hạn đầu tiên số nguyên tố tiếp theo: 3 với số mũ là số ghế của họ trên xe buýt. Như vậy, khách ngồi ghế số 7 trên chiếc xe đầu tiên nhận phòng số 3^7, nghĩa là phòng số 2.187. Người quản lý tiếp tục xếp phòng. Khách trên xe thứ hai được đưa cho số nguyên tố tiếp theo: 5 với số mũ là số ghế của họ trên xe. Tương tự là số 7 với khách trên xe thứ ba. Tiếp tục với số 11, số 13, số 17, v.v....
Bởi vì mỗi số này chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không có khách nào phải thuê trùng phòng cả. Tất cả các khách xuống xe buýt, vào khách sạn, và tìm số phòng người quản lý đã xếp cho mình. Bằng cách này, ông có thể xếp phòng cho từng hành khách trên từng xe.
Tuy nhiên, khách sạn sẽ có một số phòng trống, ví dụ như phòng số 6, bởi 6 không được tạo ra bởi số nguyên tố cùng số mũ nào cả. May mắn thay, sếp của ông ta không giỏi Toán, và ông không bị đuổi việc. Phương pháp của người quản lý chỉ thành công khi mà, tuy rằng Khách sạn Vô hạn là cơn ác mộng về lô-gíc, lại chỉ ở mức độ đơn giản nhất của khái niệm vô cực, chủ yếu là số số tự nhiên vô cực đếm được: 1, 2, 3, 4, v.v....
George Cantor gọi đây là mức độ 0- apleph của vô cực. Ta dùng số tự nhiên để chỉ số phòng và số ghế trên xe buýt. Nếu phải đối mặt với những bậc cao hơn của vô cực, ví dụ như tập số thực, cách sắp xếp như trên sẽ không còn khả thi, bởi không có cách nào có thể bao gồm tất cả các số theo hệ thống. Khách sạn Vô hạn.
Số thực có số phòng âm trong tầng hầm, và số phòng là phân số, nghĩa là khách phòng số 1/2 luôn nghi rằng phòng của anh ta bé hơn phòng số 1 bên cạnh. Nếu ta lấy căn của số phòng, ví dụ như căn 2 và phòng số pi, nơi khách thuê phòng mong chờ món tráng miệng miễn phí. Quản lý ca đêm có lòng tự trọng nào lại muốn làm ở một nơi như thế, dù lương của anh ta là vô hạn?
Tại Khách sạn Vô hạn của Hilbert, không bao giờ có phòng trống và luôn còn phòng cho khách mới, những tình huống mà người quản lý cần mẫn vì quá hiếu khách phải giải quyết nhắc nhở chúng ta rằng thật khó khăn khi dùng trí óc có hạn của mình để hiểu thấu một khái niệm rộng lớn như vô cực. Bạn có thể giúp chúng tôi giải quyết bài toán này, sau một giấc ngủ ngon. Nhưng thành thực mà nói, chúng tôi có thể sẽ cần bạn thức dậy và chuyển phòng vào lúc 2 giờ sáng.
Hãy tưởng tượng một khách sạn với số phòng vô hạn và một quản lý ca đêm cần mẫn. Một đêm nọ, khi tất cả các phòng ở Khách sạn Vô hạn đều đã đầy, một người đàn ông bước vào, hỏi thuê một phòng. Không muốn làm khách thất vọng, người quản lý đã quyết định xếp phòng cho ông ấy. Nhưng làm thế nào?
Đơn giản thôi. Ông ta yêu cầu khách ở phòng số 1 chuyển sang phòng số 2, khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 3, v.v Mỗi
khách chuyển từ phòng số n sang phòng số n+1. Bởi khách sạn có số phòng vô hạn, tất cả các khách trong khách sạn đều có phòng. Nhờ thế, ông khách mới có được một phòng. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho bất kỳ số khách có hạn nào. Giả sử một xe buýt chở 40 người đến thuê phòng, mỗi khách trong khách sạn sẽ phải chuyển từ phòng số n sang phòng số n+40, và nhờ vậy, 40 phòng đầu tiên sẽ còn trống.
Nhưng giả sử, một xe buýt lớn vô hạn chở một số khách vô hạn (đếm được) đến khách sạn này để thuê phòng.
Ban đầu, chiếc xe buýt với số khách vô hạn làm người quản lý bối rối, nhưng ông nhận ra có một cách để xếp phòng cho họ. Ông yêu cầu khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2. Rồi yêu cầu khách ở phòng số 2 chuyển sang phòng số 4, khách ở phòng số 3 chuyển sang phòng số 6, v.v....
Mỗi khách trong khách sạn chuyển từ phòng số n sang phòng số 2n, và vì thế, chỉ các phòng chẵn là có khách ở. Bằng cách này, người quản lý đã dọn trống các phòng lẻ, và khách mới có thể thuê những phòng lẻ đó. Mọi người đều vui vẻ, và lợi nhuận của khách sạn tăng cao hơn bao giờ hết.
Thực ra thì, lợi nhuận của khách sạn không thay đổi chút nào, bởi đêm nào, khách sạn cũng thu về số tiền vô hạn. Mọi người bàn tán về khách sạn phi thường này. Họ đổ xô đến đây thuê phòng. Một đêm, điều không tưởng xảy đến. Người quản lý nhìn ra bên ngoài và thấy một hàng xe buýt lớn vô hạn, dài vô hạn. Mỗi xe có một số khách vô hạn. Làm gì bây giờ? Nếu không xếp được phòng cho tất cả bọn họ, khách sạn sẽ thất thoát một số tiền lớn vô hạn, chắc chắn, ông ta sẽ mất việc.
May mắn thay, ông nhớ ra vào khoảng năm 300 TCN, Euclid đã chứng minh rằng số số nguyên tố là vô tận. Để hoàn thành nhiệm vụ tưởng như không thể này tìm số giường vô hạn cho số khách vô hạn trên số xe buýt vô hạn này, người quản lý đưa cho mỗi khách trong khách sạn số nguyên tố đầu tiên: 2 với số mũ là số phòng mà họ đang ở.
Như vậy, người khách ở căn phòng số 7 sẽ chuyển đến phòng số 2^7, nghĩa là phòng số
128. Người quản lý đưa tất cả khách trên chiếc xe buýt lớn vô hạn đầu tiên số nguyên tố tiếp theo: 3 với số mũ là số ghế của họ trên xe buýt. Như vậy, khách ngồi ghế số 7 trên chiếc xe đầu tiên nhận phòng số 3^7, nghĩa là phòng số 2.187. Người quản lý tiếp tục xếp phòng. Khách trên xe thứ hai được đưa cho số nguyên tố tiếp theo: 5 với số mũ là số ghế của họ trên xe. Tương tự là số 7 với khách trên xe thứ ba. Tiếp tục với số 11, số 13, số 17, v.v....
Bởi vì mỗi số này chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không có khách nào phải thuê trùng phòng cả. Tất cả các khách xuống xe buýt, vào khách sạn, và tìm số phòng người quản lý đã xếp cho mình. Bằng cách này, ông có thể xếp phòng cho từng hành khách trên từng xe.
Tuy nhiên, khách sạn sẽ có một số phòng trống, ví dụ như phòng số 6, bởi 6 không được tạo ra bởi số nguyên tố cùng số mũ nào cả. May mắn thay, sếp của ông ta không giỏi Toán, và ông không bị đuổi việc. Phương pháp của người quản lý chỉ thành công khi mà, tuy rằng Khách sạn Vô hạn là cơn ác mộng về lô-gíc, lại chỉ ở mức độ đơn giản nhất của khái niệm vô cực, chủ yếu là số số tự nhiên vô cực đếm được: 1, 2, 3, 4, v.v....
George Cantor gọi đây là mức độ 0- apleph của vô cực. Ta dùng số tự nhiên để chỉ số phòng và số ghế trên xe buýt. Nếu phải đối mặt với những bậc cao hơn của vô cực, ví dụ như tập số thực, cách sắp xếp như trên sẽ không còn khả thi, bởi không có cách nào có thể bao gồm tất cả các số theo hệ thống. Khách sạn Vô hạn.
Số thực có số phòng âm trong tầng hầm, và số phòng là phân số, nghĩa là khách phòng số 1/2 luôn nghi rằng phòng của anh ta bé hơn phòng số 1 bên cạnh. Nếu ta lấy căn của số phòng, ví dụ như căn 2 và phòng số pi, nơi khách thuê phòng mong chờ món tráng miệng miễn phí. Quản lý ca đêm có lòng tự trọng nào lại muốn làm ở một nơi như thế, dù lương của anh ta là vô hạn?
Tại Khách sạn Vô hạn của Hilbert, không bao giờ có phòng trống và luôn còn phòng cho khách mới, những tình huống mà người quản lý cần mẫn vì quá hiếu khách phải giải quyết nhắc nhở chúng ta rằng thật khó khăn khi dùng trí óc có hạn của mình để hiểu thấu một khái niệm rộng lớn như vô cực. Bạn có thể giúp chúng tôi giải quyết bài toán này, sau một giấc ngủ ngon. Nhưng thành thực mà nói, chúng tôi có thể sẽ cần bạn thức dậy và chuyển phòng vào lúc 2 giờ sáng.
